Gödels Ufuldstændighedssætning

Jeg er selv af den overbevisning at matematik er opfundet. Derfor giver det god mening at den ikke altid giver mening. Giver det mening?

De kendte paradokser er blevet udraderet i moderne mængdelære ved at holde sig til Zermelo-Fraenkel aksiomerne (og ofte med udvalgsaksiomet). Det som ikke bliver indeholdt i dette system (blandt andet de mange paradokser gennem tiden), har ikke vist sig så relevant endnu, og muligvis er for abstrakt (selv for garvede matematikere).

Det er nok ikke tilfældigt at Cantor blev mentalt ustabil efter at have tænkt for mange tanker omkring aksiomatisk mængdelære

Jeg tror det vigtigste at forstå er, at Gödels teorem kun er i spil under nogle meget, meget specifikke og veldefinerede rammer. Det kan ikke på nogen som helst måde overføres til – om jeg så må sige – hverdagen.

Men det er da mega spændende, helt klart. Gödel selv var en interessant og samtidig tragisk person. Tjek evt. den her bog om ham.

#6: Jeg synes ikke at du kan kreditere “1+1=2” til Bertrand Rusell. Det har man altid vidst. Giuseppe Peano formaliserede det. Al matematik er i øvrigt baseret på antagelser (aksiomer).

#8 Du kan ikke bevise aksiomerne; hvis man kunne det, var de ikke længere aksiomer. Vi antager – inden for det system, det nu handler om – at de er sande og afleder så alt det andet derfra.

#8 Jeg tror at du blander tingene sammen.

Aksiomer er grundantagelser som vi vælger at tro på, og uden dem vil vi ikke kunne udlede andre logiske resultater. Det er altså kun muligt at bevise et aksiom hvis man har andre aksiomer der kan udlede dette som et resultat (altså så det faktisk var overflødigt som aksiom til at starte med).

Tricket er at få lavet et pænt system (uden paradokser) med så få aksiomer som muligt. Gennem tiden er nogle aksiomer blevet fjernet på denne måde, altså vist at de medføres af andre anvendte aksiomer. I princippet skal et matematisk resultat altid læses med bagtanke på hvilke aksiomer der er antaget. Nu til dags er ZFC så almindelig anvendt, at det ville være MEGET mærkeligt at nævne dem medmindre man specifikt laver forskning indenfor aksiomatisk mængdelære (og gud hvor må det være frygteligt!).