søndag, januar 17, 2021

Gödels Ufuldstændighedssætning

Daily Rush Debat Off-topic Gödels Ufuldstændighedssætning

  • Forfatter
    Emne
  • #0

    mediumaevum
    Bruger
    671 indlæg
    Offline

    Jeg har et spørgsmål til jer matematiknørder:

    Hvis et system er specifikt afgrænset og indeholder aritmetik (hvilket vel alle systemer gør?) samt er konsistent – siger Gödels Ufuldstændighedslære at det ikke er den fulde beskrivelse af virkeligheden.

    Med andre ord mente han, at der altid vil være ubekendte, og at der altid vil være sætninger som er sande, men som ikke kan bevises.

    Et klassisk eksempel i folkemunde vil være at du tager et stykke papir, og på den ene side skriver du: “Sætningen på den anden side er falsk” og på den anden side skriver du: “Sætningen på den anden side er sand”.

    Man kunne også forsimple den til:

    “Denne sætning kan modbevises”.

    Hvis sætningen kan modbevises, må den kunne bevises at være forkert, men hvis den er forkert, har du jo ikke noget bevis… eller?

    Gödel fik sætningen omdannet til matematisk logik for at kunne arbejde med den (matematisk/logisk), og den står der stadig.

    Mit spørgsmål er så:

    Er det i virkeligheden ikke bare et udtryk for den menneskelige hjernes ufuldkommenhed, mere end det er et udtryk for matematisk ufuldkommenhed?

    Matematik er (også) i hovedet. Og det går jo tilbage til diskussionen om matematik er opdaget eller opfundet. Men hvis matematik er opdaget og en integreret/fundamental del af naturen/universet, vil det jo give god nok mening at menneskehjernen, som er en (ufuldkommen) del af systemet – kommer til kort, ikke bare i praksis men også teoretisk?

    Jeg ved ikke hvordan jeg ellers skal formulere spørgsmålet.

Viser 11 kommentarer - 1 til 11 (af 11 i alt)
  • Forfatter
    Kommentarer
  • #1

    Guru35
    Bruger
    257 indlæg
    Offline

    Jeg er selv af den overbevisning at matematik er opfundet. Derfor giver det god mening at den ikke altid giver mening. Giver det mening?

    #2

    Kolben
    Bruger
    18.936 indlæg
    Offline

    At modsætninger skulle være udtryk for ufuldkommenhed er snæversyn. Matematik er et sprog, det beskriver logiske konstruktioner. Er sprog opdaget eller opfundet? Er svaret overhovedet interessant?

    P=NP?

    #3

    -dut-
    Bruger
    3.078 indlæg
    Online

    De kendte paradokser er blevet udraderet i moderne mængdelære ved at holde sig til Zermelo-Fraenkel aksiomerne (og ofte med udvalgsaksiomet). Det som ikke bliver indeholdt i dette system (blandt andet de mange paradokser gennem tiden), har ikke vist sig så relevant endnu, og muligvis er for abstrakt (selv for garvede matematikere).

    Det er nok ikke tilfældigt at Cantor blev mentalt ustabil efter at have tænkt for mange tanker omkring aksiomatisk mængdelære

    #4

    mediumaevum
    Bruger
    671 indlæg
    Offline

    #3 – Takker for opklaring. Det var jeg ikke klar over.

    #5

    PBT
    Admin
    3.879 indlæg
    Offline

    Jeg tror det vigtigste at forstå er, at Gödels teorem kun er i spil under nogle meget, meget specifikke og veldefinerede rammer. Det kan ikke på nogen som helst måde overføres til – om jeg så må sige – hverdagen.

    Men det er da mega spændende, helt klart. Gödel selv var en interessant og samtidig tragisk person. Tjek evt. den her bog om ham.

    Startede Daily Rush og Quake3.dk sammen med Webster i et andet årtusind

    #6

    mediumaevum
    Bruger
    671 indlæg
    Offline

    #5 – Det er selvfølgelig givet, at vi ved at 1+1=2, det har man vidst siden Bertrand Russel. Ligesom vi også ved, at jorden ikke falder sammen under sin egen tyngde imorgen, eller at du kan gå gennem en dør, uden at komme til skade.

    Men det afhænger jo altsammen i bund og grund af de matematiske fundamenter, som – samlet set – giver denne “trygge” verden.

    Problemet er, at ZFC-systemet baseres på en antagelse og konsensus blandt matematikere, mere end det er et udtryk for et egentlig bevis for at det er sandt.

    #7

    Kolben
    Bruger
    18.936 indlæg
    Offline

    #6: Jeg synes ikke at du kan kreditere “1+1=2” til Bertrand Rusell. Det har man altid vidst. Giuseppe Peano formaliserede det. Al matematik er i øvrigt baseret på antagelser (aksiomer).

    P=NP?

    #8

    mediumaevum
    Bruger
    671 indlæg
    Offline

    #7 – Men hvordan beviser man aksiomerne – “grundantagelserne”?

    Man kan jo antage stort set alt. F.eks. kvadratroden af -1.

    Det er sådan matematik bygges op, i det store og hele. Antagelser – forudsigelser og verificering med virkeligheden.

    Mit spørgsmål går på, hvordan man kan bevise at en antagelse er sand, uden at man efterfølgende behøver at kigge på virkeligheden for at tjekke efter, om antagelsen var sand?

    #9

    PBT
    Admin
    3.879 indlæg
    Offline

    #8 Du kan ikke bevise aksiomerne; hvis man kunne det, var de ikke længere aksiomer. Vi antager – inden for det system, det nu handler om – at de er sande og afleder så alt det andet derfra.

    Startede Daily Rush og Quake3.dk sammen med Webster i et andet årtusind

    #10

    Kolben
    Bruger
    18.936 indlæg
    Offline

    #8:
    Den viden du har, som ikke kan bevises er du nødt til at antage. Og ja, man kan antage ting om kvrod(-1). F.eks. at kvrod(-1)*kvrod(-1) = -1, hvilket er et af aksiomerne i kompleks algebra.

    Derudover giver det ikke rigtigt mening at prøve sine antagelser hele tiden. De er jo forudsætningen for dit system. Kun hvis dit system er sundt og giver forkerte svar, giver det mening at revidere antagelserne. Møder du sådan en kontekst må du lave at nyt system, der passer til den, med nogle andre antagelser.

    P=NP?

    #11

    -dut-
    Bruger
    3.078 indlæg
    Online

    #8 Jeg tror at du blander tingene sammen.

    Aksiomer er grundantagelser som vi vælger at tro på, og uden dem vil vi ikke kunne udlede andre logiske resultater. Det er altså kun muligt at bevise et aksiom hvis man har andre aksiomer der kan udlede dette som et resultat (altså så det faktisk var overflødigt som aksiom til at starte med).

    Tricket er at få lavet et pænt system (uden paradokser) med så få aksiomer som muligt. Gennem tiden er nogle aksiomer blevet fjernet på denne måde, altså vist at de medføres af andre anvendte aksiomer. I princippet skal et matematisk resultat altid læses med bagtanke på hvilke aksiomer der er antaget. Nu til dags er ZFC så almindelig anvendt, at det ville være MEGET mærkeligt at nævne dem medmindre man specifikt laver forskning indenfor aksiomatisk mængdelære (og gud hvor må det være frygteligt!).

Viser 11 kommentarer - 1 til 11 (af 11 i alt)
  • Du skal være logget ind for at kommentere på dette indlæg.